Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）經過點（ ，1），以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓經過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點（﹣1，0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，試問在x軸上是否存在一個定點M，使得 恒為定值？若存在，求出該定值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由圓的方程x2+y2=b2，由橢圓短半軸長為半徑的圓經過橢圓的焦點，則b=c，

∴a2=2b2，

將（ ，1）代入橢圓方程 ，解得：b2=2，則a2=4，

∴橢圓的標準方程： ；

（2）

解：設A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），

當直線k的斜率存在，設直線l的方程為：y=k（x+1），

則 ，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則y1y2=k（x1+1）×k（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（ ﹣ +1）=﹣ ，

=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=[ ﹣m×（﹣ ）+m2]+（﹣ ），

= = 為定值，

則 = ，解得：m=﹣ ，

則 =﹣ ，

當直線l的斜率k不存在時，點A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），

此時，當m=﹣ 時，則 =（﹣1﹣m）（﹣1﹣m）﹣ =﹣ ，

綜上可知：存在點M（﹣ ，0），使得 =﹣ ．

【解析】（1）由題意可知：b=c，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）分類討論，當斜率存在時，代入橢圓方程，由韋達定理及向量數量積的坐標運算，由 恒為定值即可求得m的值，求得 的值及M點坐標；當直線l的斜率k不存在時，點A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），則m=﹣ 時，求得 的值及M點坐標．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．