Question

（09年西城區抽樣文）（14分）

   已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點在映射f下的象為點，記作.

設，,. 如果存在一個圓，使所有的點都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點的一個收斂圓. 特別地，當時，則稱點為映射f下的不動點.

若點在映射f下的象為點.     

(Ⅰ) 求映射f下不動點的坐標；

     (Ⅱ) 若的坐標為(2,2)，求證：點存在一個半徑為2的收斂圓.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：設不動點的坐標為，

    由題意，得，解得，

    所以此映射f下不動點為.                      -----------------------4分

  （Ⅱ）證明：由，得，                --------------------6分

    所以，

    因為，

    所以，                     

    所以，                     --------------------------8分

    由等比數列定義，得數列N^*)是公比為-1，首項為的等比數列，

    所以，則.     --------------------------10分

    同理 .                                     

所以 .                 -----------------------11分

    設，則，             ------------------12分

    因為 ，

    所以，

所以.

    故所有的點都在以為圓心，2為半徑的圓內，

即點存在一個半徑為2的收斂圓.                  ---------------14分