Question

【題目】已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率e=,點P(-,1)在該橢圓上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若點A,B是橢圓C上關于直線y=kx+1對稱的兩點,求實數k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）已知離心率，點P滿足橢圓方程，結合b2=a2-c2，即可求得橢圓C的方程；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），y1≠y2，BA的中點（x0，y0），易知直線y=kx+1且k≠0，恒過（0，1），由點B，A在橢圓上，化簡可得y0 =-1，由AB的中點在y=kx+1上，解得x0，進而推出k的不等式.

(1)由已知e=, 即c2=a2,b2=a2-c2=a2,

將P(-,1)代入橢圓方程,得=1,

∴ a=2,b=.∴a2=4,∴b2=2,

∴ 橢圓C的方程為=1.

(2)橢圓C上存在點B,A關于直線y=kx+1對稱,

設A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,AB的中點(x0,y0),

易知直線y=kx+1且k≠0,恒過點(0,1),則+(y1-1)2=+(y2-1)2,

點A,B在橢圓上,∴=4-2=4-2,

∴ 4-2+(y1-1)2=4-2+(y2-1)2. 化簡得=-2(y1-y2),即y1+y2=-2,∴ y0==-1.

又AB的中點在y=kx+1上,∴ y0=kx0+1,x0=-.

由可得x=±,

∴0<-,或-<-<0,

即k<-或k>.

則k的取值范圍是(-∞,-)∪(,+∞).