Question

【題目】設函數f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（1）證明：f（x）≥2；
（2）若f（3）＜5，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣a）|=|a+ |=a+ ≥2 =2，

故不等式f（x）≥2成立．

（2）解：∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，

∴當a＞3時，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜ ．

當0＜a≤3時，不等式即 6﹣a+ ＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜a≤3．

綜上可得，a的取值范圍（ ， ）．

【解析】（1）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用絕對值三角不等式、基本不等式證得f（x）≥2成立．（2）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分當a＞3時和當0＜a≤3時兩種情況，分別去掉絕對值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．