Question

【題目】函數f（x）= ．
（1）若a=5，求函數f（x）的定義域A；
（2）設B={x|﹣1＜x＜2}，當實數a，b∈B∩（RA）時，求證： ＜|1+ |．

Answer 1

【答案】
（1）

解： a=5時，函數f（x）= ，

∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；

即|x+1|+|x+2|≥5，

當x≥﹣1時，x+1+x+2≥5，∴x≥1；

當﹣1＞x＞﹣2時，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈；

當x≤﹣2時，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；

綜上，f（x）的定義域是A={x|x≤﹣4或x≥1}．

（2）

證明：∵A={x|x≤﹣4或x≥1}，B={x|﹣1＜x＜2}，

∴RA=（﹣4，1），

∴B∩CRA=（﹣1，1）；

又∵ ，

而 ；

當a，b∈（﹣1，1）時，

（b2﹣4）（4﹣a2）＜0

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

即 ．

【解析】（1）根據題意，得|x+1|+|x+2|﹣5≥0；求出x的取值范圍，即是f（x）的定義域A；（2）由A、B求出B∩CRA，即得a、b的取值范圍，由此證明 成立即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零，以及對不等式的證明的理解，了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．