Question

(本小題滿分10分)
如圖,已知與圓相切于點,經過點的割線交圓于點、,的平分線分別交、于點、．

求證:(1) .
(2) 若求的值.

Answer 1

:(1)略 (2)=

試題分析：解：(1)∵ PA是切線，AB是弦，

∴∠BAP=∠C，  ………2分
又∵∠APD=∠CPE,
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,                  ………4分
∴∠ADE=∠AED．                  ………5分
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,
∴△APC∽△BPA, ∴,      ………7分
∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形內角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圓O的直徑，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．………9分
在Rt△ABC中，=, ∴=．………10分
點評：此類題目常涉及的圖形有圓、切線和三角形。在解決此類題目時，常要找出兩個相似三角形。