Question

如圖，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、CC₁的中點
（1）求證：A₁C₁∥平面B₁EDF；
（2）求四棱錐C₁-B₁EDF的體積．

Answer 1

分析：（1）證明A₁C₁∥平面B₁EDF，連接EF，E、F分別AA₁、CC₁的中點O₁，從而可得EF∥A₁C₁；
（2）取A₁C₁中點，過O₁作O₁H⊥B₁D于H，根據A₁C₁∥平面B₁EDF，利用等體積轉換，即可求得結論．

解答：（1）證明：連接EF，E、F分別AA₁、CC₁的中點
O₁
∴EF∥A₁C₁
又EF⊆平面B₁EDF，A₁C₁?平面B₁EDF
∴A₁C₁∥平面B₁EDF…（6分）
（2）解：取A₁C₁中點，過O₁作O₁H⊥B₁D于H
∵A₁C₁∥平面B₁EDF
∴VC1-B1EDF=VO1-B1EDF=

1

3

SB1EDF•O1H=

1

3

×

1

2

×B1D×EF×O1H=

1

6

a3…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查四棱錐的體積，解題的關鍵是掌握線面平行的判定方法，屬于中檔題．