Question

如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.

（1）求證：E、F、G、H四點共面；

（2）求證：BD//平面EFGH；

（3）設M是EG和FH的交點，求證：對于空間任意一點O有

.

Answer 1

思路分析：（1）要證明E、F、G、H四點共面，只要能夠找到X，Y實數，使即可；（2）要證明BD//平面EFGH，可以只需證明∥即可；（3）充分利用（2）所得結論找到M為EG、FH的中點即可.

證明:（1）如圖連接BG，則

=.

故E、F、G、H四點共面.

（2）如圖根據題意有

.

所以得證∥,即BD∥EH

又EH平面EFGH，BD平面EFGH，則BD∥平面EFGH.

（3）圖略

由（2），有.

同理.

∴.∴EHFG.

所以EG、FH交于一點且被M平分.則有

=.