Question

自點A(-3，3)發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光線L所在的直線方程.

Answer 1

4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0

【錯解分析】設反射光線為L′,由于L和L′關于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關于x軸的對稱點A′(-3，-3)，于是L′過A(-3，-3).　　設L′的斜率為k，則L′的方程為y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圓方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r＝1因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1　即　整理得12k²-25k+12＝0
解得k＝　　L′的方程為y+3＝(x+3)　即4x-3y+3＝0　因L和L′關于x軸對稱故L的方程為4x+3y+3＝0.
【正解】設反射光線為L′,由于L和L′關于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關于x軸的對稱點A′(-3，-3)，　于是L′過A(-3，-3).　　設L′的斜率為k，則L′的方程為y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，　　已知圓方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r＝1
因L′和已知圓相切，則O到L′的距離等于半徑r＝1
即　整理得12k²-25k+12＝0　解得k＝或k＝
L′的方程為y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′關于x軸對稱故L的方程為4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.