Question

【題目】已知點，圓:，過點的動直線與圓交于A,B兩點，線段AB的中點為M,O為坐標原點.

求M的軌跡方程；

當|OP|=|OM|時，求的方程及的面積

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣3）2=2（2）

【解析】分析：（1）由圓的方程求出圓心坐標和半徑，設出的坐標，由與數量積等于可得的軌跡方程；（2）設的軌跡的圓心為，由得到，求出所在直線的斜率，由直線方程的點斜式得到所在直線方程，由點到直線的距離公式求出到直線的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關系求出的長度，代入三角形面積公式得結論.

詳解：（1）由圓C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，

∴圓C的圓心坐標為（0，4），半徑為4．

設M（x，y），則，．

由題意可得：．

即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．

由于點P在圓C內部，

∴M的軌跡方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．

（2）由（1）知M的軌跡是以點N（1，3）為圓心，為半徑的圓，

由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，

又P在圓N上，從而ON⊥PM．

∵kON=3，∴直線l的斜率為﹣．

∴直線PM的方程為，即x+3y﹣8=0．

則O到直線l的距離為．

又N到l的距離為，

∴|PM|==．

∴．