Question

【題目】已知函數，為實數.

（1）當時，判斷并證明函數在區間上的單調性；

（2）是否存在實數，使得在閉區間上的最大值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，證明見解析；（2）存在

【解析】

（1）根據得到解析式，然后根據，得到解析式，再設且，整理化簡，判斷出每個因式的正負，從而得到，從而證明在上的單調性；（2）根據，判斷出 單調區間，然后根據對稱軸與區間之間的關系，進行分類討論，從而得到答案.

（1）當時，在上單調遞減.

以下為證明：

當，得到，

所以當時，，

設且，

因為，所以，

所以，所以

又因，所以，

即

所以當時，在上單調遞減.

（2），

因為

所以在，上單調遞增，在上單調遞減，

①當，即時，在上單調遞減，

，即，解得，

②當，即時，在單調遞增，在單調遞減，

，即，解得（舍），

③當，即時，在上單調遞增，

，即，解得（舍），

綜上所述，.