Question

【題目】設a為實數，函數，

若，求不等式的解集；

是否存在實數a，使得函數在區間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由；

寫出函數在R上的零點個數不必寫出過程

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）3.

【解析】

代入a的值，通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可；

通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的最值，得到關于a的不等式組，解出判斷即可；

通過討論a的范圍，判斷函數的零點個數即可．

（1）由題意，當時，，

當時，，即，

故不存在這樣的實數x，

當時，，即，解得：，

故不等式的解集是；

，

若，則在遞增，在遞減，在遞增，

函數在上既有最大值又有最小值，

，，

從而，即，

解得：，

故不存在這樣的實數a；

若，則在遞增，在遞減，在遞增，

函數在區間上既有最大值又有最小值，

故，，

從而，即，

解得：，

故不存在這樣的實數a；

若，則為R上的遞增函數，

故在上不存在最大值又有最小值，

綜上，不存在這樣的實數a；

當或時，函數的零點個數為1，

當或時，函數的零點個數為2，

當時，函數的零點個數為3．