Question

已知拋物線（且為常數(shù)），為其焦點(diǎn)．

（1）寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且，求直線的斜率；
（3）若線段是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的兩條動(dòng)弦，且滿足，如圖所示．求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（1）（a，0）；（2）； (3) ．

試題分析：（1）∵拋物線方程為（a＞0），∴焦點(diǎn)為F（a，0）．
（2）設(shè)滿足題意的點(diǎn)為P（x₀，y₀）、Q（x₁，y₁）．
∵，
∴(a-x₀，-y₀)=2(x₁-a，y₁)，即．
又y₁²=4ax₁，y₀²=4ax₀，
∴，進(jìn)而可得x₀=2a，，即y₀=±2a．
∴．
(3) 由題意可知，直線AC不平行于x軸、y軸（否則，直線AC、BD與拋物線不會(huì)有四個(gè)交點(diǎn)）。
于是，設(shè)直線AC的斜率為．    12分
聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得(設(shè)點(diǎn)),則是此方程的兩個(gè)根．
．                           13分
弦長(zhǎng)
＝
＝
＝．                   15分
又,．． 16分
＝,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最小值．18分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。本題（2）通過(guò)應(yīng)用平面向量共線的條件，利用“代入法”，得到的關(guān)系，進(jìn)一步求得直線的斜率。（3）利用函數(shù)的觀點(diǎn)及均值定理，確定得到面積的最小值。應(yīng)用均值定理要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。