Question

【題目】定長為2的線段AB的兩個端點在以點（0， ）為焦點的拋物線x2=2py上移動，記線段AB的中點為M，求點M到x軸的最短距離，并求此時點M的坐標。

Answer 1

【答案】最短距離為,（， ）

【解析】試題分析：由題意得到拋物線的方程，設直線的方程，聯立方程組，得到和，根據，求得，進而利用基本不等式，即可求解的最小值，得到此時點的坐標.

試題解析：

依題意可得拋物線的方程為x2=y.

設直線AB的方程為y=kx+b（kR），

聯立方程組得2x2-kx-b=0.

設A（x1,y1），B（x2，y2），則x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=.

因為|AB|=2,所以（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=4，

所以b=，

所以yM=

=.

當且僅當=即k=±時取等號，

所以點M到x軸的最短距離為，此時點M的坐標為（， ）.