Question

3．某市地產數據研究的數據顯示，2016年該市新建住宅銷售均價走勢如下圖所示，3月至7月房價上漲過快，政府從8月采取宏觀調控措施，10月份開始房價得到很好的抑制．

（Ⅰ）地產數據研究所發現，3月至7月的各月均價y（萬元/平方米）與月份x之間具有較強的線性相關關系，試求y關于x的回歸方程；
（Ⅱ）政府若不調控，依此相關關系預測第12月份該市新建住宅的銷售均價．
（從3月到7月的參考數據：$\sum_{i=1}^{5}$x_i=25，$\sum_{i=1}^{5}$y_i=5.36，$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=0.64；回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，計算$\overline{x}$，$\overline{y}$，求出回歸系數$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，即可寫出回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回歸方程，計算x=12時$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得出下表；

月份x	3	4	5	6	7
均價y	0.95	0.98	1.11	1.12	1.20

計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×$\sum_{i=1}^{5}$x_i=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×$\sum_{i=1}^{5}$y_i=1.072，$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=0.64，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{0.64}{{（3-5）}^{2}{+（4-5）}^{2}{+（5-5）}^{2}{+（6-5）}^{2}{+（7-5）}^{2}}$=0.064，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=1.072-0.064×5=0.752，
∴從3月到6月，y關于x的回歸方程為$\widehat{y}$=0.064x+0.752；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回歸方程，計算x=12時，$\widehat{y}$=0.064×12+0.752=1.52；
即可預測第12月份該市新建住宅銷售均價為1.52萬元/平方米．

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，正確計算是解題的關鍵．