Question

若數列的前項和是二項展開式中各項系數的和．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）若數列滿足，且，求數列 的通

項及其前項和；

（III）求證：．

Answer 1

，

解析:

解：（Ⅰ）由題意,                -----------------------------------------------------2分

,

        兩式相減得．                --------------------3分

        當時，,

∴．            --------------------------------------------------4分

（Ⅱ）∵，

∴,

       ,

  ,

  ………

  ．

以上各式相加得

.

∵  ,

∴.       -----------------------------------------------------------------6分

∴．     -------------------------------------------------7分

∴,

∴.

∴.

        

         =.

∴．  -------------------------------------------------------------9分

（3）=

                    =4+

                       

                    =

                    ．  -------------------------------------------12分

        ∵,  ∴ 需證明，用數學歸納法證明如下：

        ①當時，成立．

        ②假設時，命題成立即，

        那么，當時，成立．

        由①、②可得，對于都有成立．

       ∴．

       ∴．---------------------------------------------------------------------------13分