Question

(本小題滿分12分)

若數列的前項和是二項展開式中各項系數的和．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）若數列滿足，且，求數列 的通項及其前項和；

（III）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ），

（III）證明見解析

【解析】（Ⅰ）由題意, ,兩式相減得．3分

    當時，,∴．         -------4分

（Ⅱ）∵，∴, ,,………

  ．以上各式相加得.

∵  ,∴.  ---  -6分∴． -----7分

∴,

∴.

∴.

 =.  ∴． ----------9分

（3）=

  =4+

=．   ∵,  ∴ 需證明，用數學歸納法證明如下：

  ①當時，成立     ②假設時，命題成立即，

  那么，當時，成立．

 由①、②可得，對于都有成立．

∴．  ∴．---12分