Question

【題目】已知函數.

（1）若函數為偶函數，求實數的值；

（2）若，求函數的單調遞減區間；

（3）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和；（3）.

【解析】

（1）根據偶函數的定義，結合題意，得到，進而可求出結果；

（2）先由題意得到，根據二次函數的性質，即可得出單調減區間；

（3）先由題意得到在上恒成立，令，根據二次函數單調性，得出函數的最小值，只需即可求出結果.

（1）因為函數為偶函數，

所以，即，即，因此；

（2）因為，所以，

因為函數的對稱軸為，開口向上；

所以當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增；

又函數的對稱軸為，開口向上；

所以當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減；

因此，函數的單調遞減區間為：和；

（3）由題意，不等式可化為，

即在上恒成立，

令，則只需即可；

因為，所以，

因此，

當時，函數開口向上，對稱軸為：，

所以函數在上單調遞減；

當時，函數開口向上，對稱軸為；

所以函數在上單調遞增；

因此，

由得，解得或，

因為，所以.

即實數的取值范圍為.