Question

【題目】設函數.

(1)判斷的單調性，并求極值；

(2)若，且對所有都成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)求導，對參數a進行討論求出單調性，即可得極值；

（2）令，題目轉變為F（x）≥0恒成立，求導，求得其單調性和最值，分類求得m的值.

解：(1)，

當a≤0時，，在R上單調遞增，函數無極值；

當a>0時，由得，，

若，，單調遞減，

若，f'（x）>0，單調遞增，

的極小值為.

(2)令，依題意，對所有的x≥0，都有F（x）≥0，易知，F（0）=0，求導可得，

，令，

由得，H（x）在[0，+∞）上為遞增函數，

即F'（x）在x∈[0，+∞）上為遞增函數，

若m≤2，，得在x∈[0，+∞）上為遞增函數，

有≥F（0）=0，符合題意，

若m>2，令<0，得.

所以在 ）上單調遞減，有舍去，

綜上，實數m的取值范圍為.