Question

【題目】已知某正三棱錐的底面邊長為4，側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為，球為該三棱錐的內(nèi)切球.球與球相切，且與該三棱錐的三個側(cè)面也相切，則球與球的表面積之比為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先利用側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為可得三個側(cè)面的等腰三角形底邊上的高，再根據(jù)等體積法可求得球的半徑，進(jìn)而根據(jù)立體幾何中的相似，可得所切的三棱錐的相似比，進(jìn)而得到的半徑比以及表面積的比.

如圖，正三棱錐，設(shè)在底面上的投影為，取中點(diǎn)，易得，，即為側(cè)面與底面所成二面角.

又，故，.

設(shè)球的半徑為，則，即，解得.

根據(jù)題意可知，為與正三棱錐相似的正三棱錐的內(nèi)切球，且該三棱錐的高.故兩正三棱錐的相似比為，故其內(nèi)切球的的半徑比也為，故球與球的表面積之比為.

故選：D