Question

【題目】已知， .

（1）若函數的單調遞減區間為，求函數的圖象在點處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析: (1)求出函數g(x)的導函數,令導函數小于0,根據不等式的解集得到相應方程的兩個根,將根代入求出a值,再根據g(x)的導數在x=-1的值即曲線的切線斜率,利用點斜式求出切線方程;(2)求出不等式,分離出參數a,構造函數h(x),利用導數求出最大值,求出a的范圍.

試題解析:

（1），由題意，知的解集是，

即方程的兩根分別是．（由韋達定理有∴a=-1）

將或代入方程，得，

∴， ，∴，

∴的圖像在點處的切線斜率，

∴函數的圖像在點處的切線方程為： ，即；

（2）∵恒成立，

即對一切恒成立，

整理可得對一切恒成立，

設，則，

令，得（舍），

當時， 單調遞增；當時， 單調遞減，

∴當時， 取得最大值，∴．

故實數的取值范圍是．