Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中點．

（1）求證：平面PBC⊥平面PCD；
（2）設點N是線段CD上一動點，且 =λ ，當直線MN與平面PAB所成的角最大時，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PC的中點E，則連接DE，

∵ME是△PBC的中位線，

∴ME ，又AD ，

∴ME AD，

∴四邊形AMED是平行四邊形，∴AM∥DE．

∵PA=AB，M是PB的中點，

∴AM⊥PB，

∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∵AM平面PAB，

∴BC⊥AM，

又PB平面PBC，BC平面PBC，PB∩BC=B，

∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，

∴DE⊥平面PBC，又DE平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD．

（2）解：以A為原點，以AD，AB，AP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．

∴ =（1，2，0）， =（0，1，1）， =（1，0，0），

∴ =λ =（λ，2λ，0）， =（λ+1，2λ，0），

= =（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．

∵AD⊥平面PAB，∴ 為平面PAB的一個法向量，

∴cos＜ ＞= = = =

=

設MN與平面PAB所成的角為θ，則sinθ= ．

∴當 即 時，sinθ取得最大值，

∴MN與平面PAB所成的角最大時 ．

【解析】（1）取PC的中點E，連接DE，由四邊形ADEM是平行四邊形得AM∥DE，由AM⊥平面PBC得DE⊥平面PBC，故而平面PBC⊥平面PCD；（2）以A為原點建立坐標系，求出 和平面PAB的法向量 ，得出|cos＜ ＞|關于λ的函數，利用二次函數的性質得出|cos＜ ＞|取得最大值時的λ的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．