Question

【題目】已知拋物線：，點為直線上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，

（1）證明，，三點的縱坐標成等差數列；

（2）已知當點坐標為時，，求此時拋物線的方程；

（3）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中點滿足，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3) 存在一點滿足題意.

【解析】

(1)設,對求導,則可求出在,處的切線方程,再聯立切線方程分析即可.
(2)根據(1)中的切線方程,代入則可得到直線的方程,再聯立拋物線求弦長列式求解即可.

(3)分情況,當的縱坐標與兩種情況,求出點的坐標表達式,再利用與垂直進行求解分析是否存在即可.

(1) 設,對求導有,故在處的切線方程為,即,又,故

同理在處的切線方程為,

聯立切線方程有,化簡得,

即的縱坐標為,因為，故,,三點的縱坐標成等差數列.
(2)同(1)有在處的切線方程為,因為,

所以,即,又切線過,則,同理,故均滿足直線方程,即

故直線 ,聯立 ,

則,

即,解得,故拋物線：.

(3)設,由題意得,則中點,

又直線斜率,故設 .

又的中點在直線上,且中點也在直線上,

代入得.又在拋物線上,則.

所以或.即點或

(1)當時,則,此時點滿足

(2) 當時,對,此時,則.

又.,所以,不成立,

對,因為,此時直線平行于軸,又因為,

故直線與直線不垂直,與題設矛盾,故時,不存在符合題意的點.

綜上所述,僅存在一點滿足題意.