Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若關(guān)于的方程在內(nèi)有唯一解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或

【解析】

（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的取值范圍，

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，關(guān)于x的方程f（x）＝﹣1+log（x+3）在上僅有一解，轉(zhuǎn)化為上僅有一個(gè)交點(diǎn)，即可求出a的取值范圍．

（1）令t＝x2﹣2（2a﹣1）x+8＞0，

∵y＝logt在[a，+∞）上為減函數(shù)，

則t＝x2﹣2（2a﹣1）x+8在[a，+∞）上為增函數(shù)，

∵其對(duì)稱軸為x＝2a﹣1，

∴t在[2a﹣1，+∞）為增函數(shù)，

則a≥2a﹣1，且t（a）＞0，即a2﹣2（2a﹣1）a+8＞0，

解得a≤1或﹣＜a＜2，

故a的取值范圍為（﹣，1]；

（2）∵方程f（x）＝﹣1+ log（x+3）＝log（2x+6），

∴x2﹣2（2a﹣1）x+8＝2x+6，∴x2﹣4ax+2＝0，

即上僅有一個(gè)交點(diǎn).

令g（x）=，則g（x）在（1，）上遞減，在（，3）上遞增.

所以g（）=，g（1）=3，g（3）=

可得或

故a的取值范圍為 或