Question

【題目】如圖，底面 是邊長為1的正方形，平面，，與平面所成角為60°.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得且，由線面垂直的判定定理即可得到證明；（2）以為原點，方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸建立空間直角坐標系，利用已知條件求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式計算即可.

（1）證明：∵平面，平面，

∴所以，

又∵底面是正方形，

∴.

∵，

∴平面.

（2）解：∵兩兩垂直，

∴以為原點，方向為x軸，方向為y軸，方向為z軸建立空間直角坐標系，

由已知可得，∴，

由，可知.

則，

∴,.

設平面的一個法向量為，

則，即

令，則.

∵平面，則為平面的一個法向量，

∴，，

∵二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為.