Question

【題目】已知函數．

（1）求f（x）的定義域；

（2）當x∈（1，+∞），

①求證：f（x）在區間（1，+∞）上是減函數；

②求使關系式f（2+m）＞f（2m-1）成立的實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （-∞，-1）∪（1，+∞）．(2) ①證明見解析； ②m＞3．

【解析】

（1）由＞0，得x＜-1或x＞1，答案可求；

（2）①設1＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=（）==，判斷正負得出結論；

②由①知函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，由f（2+m）＞f（2m-1）得出m．

（1）由＞0，得x＜-1或x＞1，

即函數的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

（2）①證明：設1＜x1＜x2，

f（x1）-f（x2）=-（）

==，

因為1＜x1＜x2，所以x2-x1＞0，

所以x1x2-1+（x2-x1）＞x1x2-1-（x2-x1）＞0，

所以，

所以f（x）＞f（x），

故f（x）在（1，+∞）上是減函數．

②由（1）知函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，

由f（2+m）＞f（2m-1），

得1＜2+m＜2m-1，得m＞3．