Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時, (其中e是自然界對數(shù)的底,)
（1）求的解析式;
（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，且，恒成立；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，有最小值３．

試題分析：本題主要考查對稱區(qū)間上函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，把所求范圍轉(zhuǎn)化為已知范圍代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二問，先將代入到和中，構(gòu)造新函數(shù)，所求證的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為，對和求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最值，代入到轉(zhuǎn)化的式子中驗(yàn)證對錯即可；第三問，先假設(shè)存在最小值3，對求導(dǎo)，分情況討論a，通過是否在區(qū)間內(nèi)討論a的4種情況，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，且數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)最值，令其等于3，解出a的值．
（1）設(shè)，則，所以又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050003612464.png" style="vertical-align:middle;" />是定義在上的奇函數(shù)，所以 
故函數(shù)的解析式為         2分
（2）證明：當(dāng)且時，
，設(shè)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050004283800.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050004454882.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，所以
所以當(dāng)時，即           6分
（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，有最小值是3，
則
（ⅰ）當(dāng)，時，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，不滿足最小值是３
（ⅱ）當(dāng)，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，也不滿足最小值是３
（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）
（ⅳ）當(dāng)時，則當(dāng)時，，此時函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時，，此時函數(shù)是增函數(shù)．
所以，解得
綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，有最小值３      12分