Question

已知單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E分別是棱C₁D₁的中點，試求：
（1）AE與平面BB₁C₁C所成的角的正弦值；
（2）二面角C₁-DB-A的余弦值．

Answer 1

分析：以D為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示：
（1）設正方體棱長為2．則E（0，1，2），A（2，0，0）．可得

AE

，平面

BCC1B1

的法向量為

n

=(0，1，0)．設AE與平面BCC₁B₁所成的角為θ．sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

| AE • n |

| AE | | n |

．
（2）A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），可得

DA

，

DB

，

DC1

，設平面

DBC1

的法向量為

n1

=（x，y，z），則

n1 • DB =x+y=0 n1 • DC1 =y+z=0

，即可得到

n1

，取平面ADB的法向量為

n2

=(0，0，1)．設二面角C₁-DB-A的大小為α，從圖中可知：α為鈍角．可得cos＜

n1

，

n2

＞，進而得到cosα．

解答：解：以D為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示：
（1）設正方體棱長為2．則E（0，1，2），A（2，0，0）．

AE

=(-2，1，2)，平面

BCC1B1

的法向量為

n

=(0，1，0)．
設AE與平面BCC₁B₁所成的角為θ．sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

| AE • n |

| AE | | n |

=

1

9

=

1

3

．
∴sinθ=

1

3

．
（2）A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DA

=(1，0，0)，

DB

=(1，1，0)，

DC1

=(0，1，1)．
設平面

DBC1

的法向量為

n1

=（x，y，z），則

n1 • DB =x+y=0 n1 • DC1 =y+z=0

，
令y=-1，則x=1，z=1．∴

n1

=（1，-1，1）．取平面ADB的法向量為

n2

=(0，0，1)．
設二面角C₁-DB-A的大小為α，從圖中可知：α為鈍角．
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

1

3

=

3

3

，
∴cosα=-

3

3

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用平面的法向量、數量積、向量夾角公式求出二面角、線面角等是解題的關鍵．