Question

已知數(shù)列，滿足，，
（1）求的值；
（2）猜想數(shù)列 的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；
（3）己知，設(shè)，記，求．

Answer 1

（1）；；（2），證明見解析；（3）3．.

試題分析：（1）這屬于已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求數(shù)列的項的問題，我們只要在已知遞推關(guān)系式中依次令就可以依次求出；（2）用歸納法歸納數(shù)列的通項公式，我們可以由數(shù)列的前幾項想象各項與項數(shù)之間的聯(lián)系，如，，，，從而歸納出結(jié)論，然后數(shù)學歸納法證明，這里數(shù)學歸納法的基礎(chǔ)即第一步已經(jīng)不需另證了，關(guān)鍵是第二步，假設(shè)時，，然后由已知條件求出，那么結(jié)論就是正確的；（3）按常規(guī)方法，先求，，接著求數(shù)列的前項和，根據(jù)其通項公式的形式（它是一個等差數(shù)列所一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得），求和用乘公比經(jīng)錯位相減法，求得，然后借助已知極限可求出極限.
試題解析：(1)，
∴．
，分別令，可得
，
(2)猜想數(shù)列的通項公式為.用數(shù)學歸納法證明如下：
證明 (i)當時，由(1)知結(jié)論成立；當時，,結(jié)論成立.
(ii)假設(shè)時，結(jié)論成立，即.
當時，
.
所以，，即時，結(jié)論也成立.
根據(jù)(i)和(ii)可以斷定，結(jié)論對一切正整數(shù)都成立.
(3)由(2)知，，． 于是，

，
．
所以，．