Question

（本小題滿分12分）

      某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A、B、C、D四個問題，規則如下：

每位參加者記分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；

每回答一題，記分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；

每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結束。

假設甲同學對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。

（Ⅰ）求甲同學能進入下一輪的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求ξ的分布列和數學期望Εξ。

Answer 1

本小題主要考察離散型隨機變量的分布列和數學期望，考察對立事件、獨立事件的概率和求解方法，考察用概率知識解決實際問題的能力。

解：設A、B、C、D分別為敵一、二、三、四個問題，用M_I（I=1,2,3,4）表示甲同學第i個問題回答正確，用N（i=1,2,3,4)表示甲同學第i個問題回答錯誤，則Mi與Ni是對立事件（i=1,2,3,4）.由題意得

P(M_I)=,P(M₂)= ，P(M₃)= P(M₄)=，

所以 p（N₁）=, P(N₂)= , P(N₃)=, P(N₄)=.…………………………

(Ⅰ)記“甲同學能進入下一輪”為事件Q,

則Q=M₁M₂M₃+ N₁M₂M₃M₄+ M₁N₂M₃M₄+ M₁M₂N₃M₄+ N₁M₂N₃M₄

由于每題答題結果相互獨立，因此

P（Q）=P（M₁M₂M₃+ N₁M₂M₃M₄+ M₁N₂M₃M₄+ M₁M₂N₃M₄+ N₁M₂N₃M₄）

      =P（M₁M₂M₃）+ P（N₁M₂M₃M₄）+ P（M₁N₂M₃M₄）+ P（M₁M₂N₃M₄）+ P（N₁M₂N₃M₄）

      = P（M₁）P（M₂）P（M₃）+ P（N₁）P（M₂）P（M₃）P（M₄）+ P（M₁）P（N₂）P（M₃）P（M₄）+ P（M₁）P（M₂）P（N₃）P（M₄）+ P（N₁）P（M₂）P（N₃）P（M₄）

     =+

=

(Ⅱ)由題意，隨機變量ξ的可能取值為：2,3,4。

由于每題答題結果互相獨立，所以 P（ξ=2）= P（N₁ N₂）= P（N₁）P（N₂）=

P（ξ=3）= P（M₁M₂M₃）+ P（M₁N₂N₃）

= P（M₁） P（M₂）P（M₃）+ P（M₁） P（N₂）P（N₃）

=

=

P（ξ=4）=1- P（ξ=2）- P（ξ=3）

=1--

=

因此 隨機變量ξ的分布列為

所以Eξ=2