Question

等差數列{a_n}中,2a₁+3a₂=11,2a₃=a₂+a₆-4,其前n項和為S_n.
(1)求數列{a_n}的通項公式.
(2)設數列{b_n}滿足b_n=,其前n項和為T_n,求證:T_n<(n∈N^*).

Answer 1

(1) a_n=2n-1     (2)見解析

(1)2a₁+3a₂=2a₁+3(a₁+d)=5a₁+3d=11,
2a₃=a₂+a₆-4,
即2(a₁+2d)=a₁+d+a₁+5d-4,得d=2,
則a₁=1,故a_n=2n-1.
(2)由(1)得S_n=n²,∴b_n==
===(-),
T_n=(-+-+-+…+-+-)
=(+--)<(n∈N^*).
【方法技巧】裂項相消法的應用技巧
裂項相消法的基本思想是把數列的通項a_n分拆成a_n=b_n+1-b_n或者a_n=b_n-b_n+1或者a_n=b_n+2-b_n等,從而達到在求和時逐項相消的目的,在解題中要善于根據這個基本思想變換數列a_n的通項公式,使之符合裂項相消的條件.在裂項時一定要注意把數列的通項分拆成的兩項一定是某個數列中的相鄰的兩項或者是等距離間隔的兩項,只有這樣才能實現逐項相消后剩下幾項,達到求和的目的.