Question

【題目】如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動，點恰好經過原點.設頂點的軌跡方程是，則對函數有下列判斷：①函數是偶函數；②對任意的，都有；③函數在區間上單調遞減；④函數的值域是；⑤.其中判斷正確的序號是__________．

Answer 1

【答案】①②⑤

【解析】

根據正方形的運動，得到點P的軌跡方程，然后根據函數的圖象和性質分別進行判斷即可．

當﹣2≤x≤﹣1，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，

當﹣1≤x≤1時，P的軌跡是以B為圓心，半徑為的圓，

當1≤x≤2時，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓，

當3≤x≤4時，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，

∴函數的周期是4．

因此最終構成圖象如下：

①，根據圖象的對稱性可知函數y＝f（x）是偶函數，故①正確；

②，由圖象即分析可知函數的周期是4．

即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正確；

③，函數y＝f（x）在區間[2，3]上單調遞增，

故③錯誤；

④，由圖象可得f（x）的值域為[0，]，故④錯誤；

⑤，根據積分的幾何意義可知f（x）dxπ（）21×1π×12，

故⑤正確．

故答案為：①②⑤．