Question

【題目】如圖，在邊長為的菱形中，，現沿對角線把翻折到的位置得到四面體，如圖所示.已知.

（1）求證：平面平面；

（2）若是線段上的點，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，推導出、，利用線面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；

（2）推導出、、兩兩垂直，以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，計算出向量的坐標，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）在三棱錐中，取的中點，連接、，得到，

四邊形是菱形，，，

又，，，，

又，，，

又，，、平面，平面，

又平面，平面平面；

（2），為中點，，、、兩兩垂直，

以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

，，

設平面的法向量，

由，即，解得，取，則，

易知平面的一個法向量為，

.

由圖可知二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.