Question

【題目】如圖,在四棱錐 中,底面為直角梯形, ， ，平面底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱上的點，

（Ⅰ）若是棱 的中點,求證: ；

（Ⅱ）若二面角的大小為,試求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接，交于,連接，只需證MN//PA.(2)由平面底面ABCD

和可知平面， ．四邊形是矩形，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，設，用t表示M點坐標，由二面角的空間向量方法，求得t.

試題解析：證明：（Ⅰ）連接，交于,連接，

且，即且，

∴四邊形為平行四邊形,故為的中點.

又∵點是棱的中點,

.

∵平面，平面，

∴．

（Ⅱ）因為 為的中點, 則．

∵平面平面,且平面平面 ,

∴平面,

∵平面,∴ .

∵, 為的中點,

∴四邊形為平行四邊形,

∴,

又∵, ∴,即．

以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系（如圖），

則, , , ， ， ， .

設，

則.

設平面的法向量為，

由得，

令，得平面 的一個法向量為，

又是平面的一法向量，二面角的大小為,

∴,

解得 （舍），∴．