Question

【題目】已知△SAB是邊長為2的等邊三角形，∠ACB＝45°，當三棱錐S﹣ABC體積最大時，其外接球的表面積為（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

作出圖形，由平面CAB與平面SAB垂直且CA＝CB時，三棱S﹣ABC的體積最大，并過兩個三角形的外心作所在三角形面的垂線，兩垂直交于點O，利用幾何關系計算出球O的半徑，然后利用球體表面積公式可得出答案．

由題可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB時，三棱錐S﹣ABC體積達到最大，如圖所示，

則點D，點E分別為△ASB，△ACB的外心，并過兩個三角形的外心作所在三角形面的垂線，兩垂直交于點O．

∴點O是此三棱錐外接球的球心，AO即為球的半徑．

在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°∠AEB＝90°，由正弦定理可知，2AE，∴AE＝EB＝EC，

延長CE交AB于點F，則F為AB的中點，所以點D在直線SF上，

∴四邊形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，則有OE⊥AE，

又∵OE＝DFSFAB，

∴OA．

∴S球表面積＝4πR2＝4π×（ ）2．

故選：B．