Question

【題目】設函數為的導函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）當時，證明；

（Ⅲ）設為函數在區間內的零點，其中，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為的單調遞減區間為.（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見證明

【解析】

(Ⅰ)由題意求得導函數的解析式，然后由導函數的符號即可確定函數的單調區間；

(Ⅱ)構造函數，結合(Ⅰ)的結果和導函數的符號求解函數的最小值即可證得題中的結論；

(Ⅲ)令，結合(Ⅰ)，(Ⅱ)的結論、函數的單調性和零點的性質放縮不等式即可證得題中的結果.

(Ⅰ)由已知，有.

當時，有，得，則單調遞減;

當時，有，得，則單調遞增.

所以，的單調遞增區間為，

的單調遞減區間為.

(Ⅱ)記.依題意及(Ⅰ)有：，

從而.當時，，故

.

因此，在區間上單調遞減，進而.

所以，當時，.

(Ⅲ)依題意，，即.

記，則.

且.

由及(Ⅰ)得.

由(Ⅱ)知，當時，，所以在上為減函數，

因此.

又由(Ⅱ)知，故：

.

所以.