Question

如圖,在四棱錐中,平面,,且,點在上.
（1）求證:；
（2）若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明直線和直線垂直，往往利用直線和平面垂直的性質，先證明線面垂直，進而證明直線和直線垂直．本題可先證明平面，因平面,所以,故只需證明，可放在中利用平面幾何的知識證明；（2）以以為原點,分別以射線為軸的正半軸,建立空間直角坐標系.分別表示相關點的坐標，通過二面角的大小為，確定點的坐標，再求直線的方向向量和面的法向量的夾角余弦，其絕對值即所求與平面所成角的正弦值．
（1）如圖,設為的中點,連結,
則,所以四邊形為平行四邊形,
故,又,
所以,故,
又因為平面,所以,
且,所以平面,故有                          5分

（2）如圖,以為原點,分別以射線
為軸的正半軸,建立空間直角坐標系.
則,
設,易得,
設平面的一個法向量為,則,
令得,即.
又平面的一個法向量為,
由題知,解得,
即,而是平面的一個法向量,
設平面與平面所成的角為,則.
故直線與平面所成的角的正弦值為.                          12分