Question

如圖，在直三棱柱中，
，。M、N分別是AC和BB₁的中點。
（1）求二面角的大小。
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面⊥平面，   
并求出的長度。

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

試題分析：（1）有兩種思路，其一是利用幾何體中的垂直關系，以B為坐標原點，所在的直線分別為，軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用平面與平面的法向量的夾角求二面角的大小.其二是按照作出二面角的平面角，并在三角形中求出該角的方法，利用平面平面，在平面內過點作，垂足是,過作，垂足為，連結,得二面角的平面角，最后在直角三角形中求；
（2）在空間直角坐標系中，設，求出平面的法向量，和平面的法向量
再由確定點的坐標，進而求線段的長度.
方法一（向量法）：如圖建立空間直角坐標系                    1分

（1）

設平面的法向量為，平面的法向量為
則有    3分
    5分
設二面角為，則 
∴二面角的大小為60°。    6分
（2）設,   ∵
∴，設平面的法向量為
則有              10分
由（1）可知平面的法向量為，
平面平面
即此時,                  12分
方法二：（1）取中點，連接

又平面,
平面 ，過作于，連接
平面 為二面角的平面角      3分
又

∴,  ∴

（2）同解法一.