Question

【題目】設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（Ⅱ）若 對(duì) 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（Ⅲ）求整數(shù) 的值，使函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

∴ ，∴所求切線方程為 ，即

（Ⅱ）∵ ，對(duì) 恒成立，∴ ，

設(shè) ，令 ，得 ，令 得 ，

∴ 在 上遞減，在 上遞增，

∴ ，∴

（Ⅲ）令 得 ，當(dāng) 時(shí)， ，

∴ 的零點(diǎn)在 上，

令 得 或 ，∴ 在 上遞增，又 在 上遞減，

∴方程 僅有一解 ，且 ，

∵ ，

∴由零點(diǎn)存在的條件可得 ，∴

【解析】(I)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求；
（II）函數(shù)含參恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題，先分離參數(shù)a<,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)g(x)的最小值即可；
（III）函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解，也是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，因此先轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)，確定交點(diǎn)位置， F ( x ) 的零點(diǎn)在 ( 0 , + ∞ ) 上，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)位置即可。