Question

設P₁(x₁，y₁)，P₁(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n³3，nÎN)是二次曲線C上的點，且構成了一個公差d(d¹0)的等差數列，其中O是坐標原點．記S_n=a₁+a₂+…+a_n．

（1）若C的方程為．點P₁（3，0）及S₃=162，求點P₃的坐標；（只需寫出一個）

（2）若C的方程為y²=2px(p¹0)．點P₁(0，0)，對于給定的自然數n，證明：（x₁+p）²，(x₂+p)²，…，（x_n+p）²成等差數列；

（3）若C的方程為．點P₁(a，0)，對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1），由，得． 由∴ 點P3的坐標可以為(，3) （2）對每個自然數k，1£k£n，由題意及 ∴ (x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2是首項為p2,公差為d的等差數列. （3）解法一：原點O到二次曲線C：上各點的最小距離為b，最大距離為a． ，∴ d<0，且， ∴ ．∵ n³3，，∴ 上遞增， 故Sn的最小值為 解法二：對每個自然數k(2£k£n)， 由 ∵ ，∴ 以下與解法一相同．