Question

設P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N) 是二次曲線C上的點，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²構成了一個公差為d(d≠0) 的等差數列，其中O是坐標原點。記S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）若C的方程為-y²=1，n=3，點P₁(3，0) 及S₃=162，求點P₃的坐標；(只需寫出一個)
（2）若C的方程為y²=2px(p≠0)，點P₁(0，0)，對于給定的自然數n，證明：(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²成等差數列；
（3）若C的方程為(a＞b＞0)，點P₁(a，0)，對于給定的自然數n，當公差d變化時，求S_n的最小值。

Answer 1

解：(1)a₁=²=9，
由S₃=(a₁+a₃)=162，得a₃=³=99，
由，得，
∴點P₃的坐標可以為(3，3)。
(2)對每個自然數k，1≤k≤n，
由題意²=(k-1)d，及，得，
即(x_k+p)²=p²+(k-1)d，
∴(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²是首項為p²，公差為d的等差數列；
(3)原點O到二次曲線C：(a＞b＞0)上各點的最小距離為b，最大距離為a，
∵a₁=²=a²，
∴d＜0，且a_n=²=a²+(n-1)d≥b²，
∴≤d＜0，
∵n≥3，＞0，
∴S_n=na²+d在[，0)上遞增，
故S_n的最小值為。