Question

已知函數f（x）=-lnx，x∈（0，e）．曲線y=f（x）在點（t，f（t））處的切線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，設O為坐標原點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：由f（x）的解析式求出f（x）的導函數，把x=t代入導函數即可求出切線的斜率，把t代入f（x）即可求出切點的縱坐標，根據切點的坐標和斜率表示出切線的方程，然后令y=0得到點A的橫坐標，令x=0得到點B的縱坐標，根據t的范圍得到求出的A的橫坐標和B的縱坐標都大于0，然后利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積S，得到S與t的函數關系式，求出S的導函數，令導函數大于0，得到函數的增區間，令導函數小于0得到函數的減區間，根據函數的增減性即可得到S的最大值．

解答：解：由已知f′(x)=-

1

x

，
所以曲線y=f（x）在點（t，f（t））處的切線方程為y+lnt=-

1

t

(x-t)．
令y=0，得A點的橫坐標為x_A=t（1-lnt），
令x=0，得B點的縱坐標為y_B=1-lnt，
當t∈（0，e）時，x_A＞0，y_B＞0，
此時△AOB的面積S=

1

2

t(1-lnt)2，S′=

1

2

(lnt-1)(lnt+1)，
解S'＞0，得0＜t＜

1

e

；解S'＜0，得

1

e

＜t＜e．
所以(0，

1

e

)是函數S=

1

2

t(1-lnt)2的增區間；(

1

e

，e)是函數的減區間．
所以，當t=

1

e

時，△AOB的面積最大，最大值為

1

2

×

1

e

(1-ln

1

e

)2=

2

e

．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數求閉區間上函數的最大值，是一道中檔題．