Question

已知函數f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區間；（文科可參考公式：(Inx)′=

1

x

）
（2）若f′（2）=1，記函數g（x）=x³+x²•[f′(x)+

m

2

]，若g（x）在區間（1，3）上總不單調，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后根據導數與函數增減性的關系，判斷函數的遞增區間，
（2）根據根的分布與函數導數的關系確定m的范圍．

解答：解：（1）依題意得：f′（x）=

-a(x-1)

x

，
當a＞0，單調遞增區間（0，1），
當a＜0，單調遞增區間（1，+∞），
當a=0，無增區間．
（2）由f′（2）=1，得a=-2，
∴g(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，
所以g′（x）=3x²+（m+4）x-2=0有兩個正負根，
依題意必有正根在區間（1，3）上，
∴由根的分布可得g′（1）＜0且g′（3）＞0
∴-

37

3

＜m＜-5．

點評：掌握函數的導數判斷函數的增減區間的方法，及根的分布的判定．