Question

水庫的蓄水量隨時間而變化，現用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為：V_（t）=

(-t2+14t-40)e 1 4 t+50(0＜t≤10) 4(t-10)(3t-41)+50(10＜t≤12)

．
（1）該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期，以t表示第t月份（t=1，2，3，…，12），問：同一年內哪些月份是枯水期？
（2）求一年內哪個月份該水庫的蓄水量最大，并求最大蓄水量．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）分段求出水庫的蓄求量小于50時x的取值范圍，注意實際問題x要取整．
（2）一年內該水庫的最大蓄水量肯定不在枯水期，則V（t）的最大值只能在（4，10）內達到，然后通過導數在給定區間上研究V（t）的最大值．

解答： 解：（1）當0＜t≤10時，V(t)=(-t2+14t-40)e

1

4

t+50＜50，化簡得t²-14t+40＞0，
∴t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．----------------------------------------------------2分
當10＜t≤12時，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，化簡得（t-10）（3t-41）＜0
∴10＜t＜

41

3

，又10＜t≤12，故10＜t≤12------------------------------------------------4分
綜上得，0＜t＜4或10＜t≤12-------------------------------------------------------------5分
故知枯水期為1月、2月、3月、11月、12月共5個月．---------------------------7分
（2）由（1）可知V（t）的最大值只能在[4，10]內達到．--------------------------------8分
由V′(t)=e

t

4

(-

1

4

t2+

3t

2

+4)=-

1

4

e

t

4

(t+2)(t-8)------------------------------------9分
令V'（t）=0得t=8或t=-2（舍去）------------------------------------------------------10分
當t變化時，V'（t）與V（t）的變化情況如下表

t	[4，8）	8	（8，10]
V'（t）	+	0	-
V（t）	↑	8e2+50	↓

------12分
由上表可知，V（t）在t=8時取得最大值8e²+50（億立方米）．------------------13分
故知一年內該水庫的最大蓄水量是8e²+50億立方米．--------------------------------14分．

點評：本小題主要考查函數、導數和不等式等基本知識，考查用導數求最值和綜合運用數學知識解決實際問題能力．