Question

【題目】已知雙曲線具有性質：若、是雙曲線左、右頂點，為雙曲線上一點，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點位置無關的定值.

（1）試對橢圓，類比寫出類似的性質（不改變原有命題的字母次序），并加以證明.

（2）若橢圓的左焦點，右準線為，在（1）的條件下，當取得最小值時，求的垂心到軸的距離.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) .

【解析】

（1）根據類比對應得橢圓性質，再根據斜率公式證結論，（2）先求得橢圓方程，再根據基本不等式確定最值取法，即得直線方程，與橢圓方程聯立解得點坐標，再根據直線交點得垂心坐標，即得結果.

（1）若、是橢圓左、右頂點，為橢圓上一點，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點位置無關的定值，即；

證明如下：設

（2）因為橢圓的左焦點，右準線為，

所以，橢圓

由（1）知，所以

當且僅當即時取“”

此時直線：

與橢圓聯立得

可設垂心，

由，故

的垂心到軸的距離為.