Question

【題目】已知是橢圓：（）與拋物線:的一個公共點，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點．

（Ⅰ）求橢圓及拋物線的方程；

（Ⅱ）設過且互相垂直的兩動直線，與橢圓交于兩點，與拋物線交于兩點，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據是橢圓：（）與拋物線:的一個公共點，可求得，從而可得相同的焦點的坐標，結合，即可求得與，從而可得橢圓及拋物線的方程；（Ⅱ）由題可知直線斜率存在，設直線的方程，，當時，求出，當時，直線的方程為，結合韋達定理及弦長公式求得及，表示出，通過換元及二次函數思想即可求得四邊形面積的最小值.

（Ⅰ）拋物線：一點

，即拋物線的方程為，

又在橢圓：上

，結合知（負舍）， ，

橢圓的方程為，拋物線的方程為.

（Ⅱ）由題可知直線斜率存在，設直線的方程，

①當時，，直線的方程，，故

②當時，直線的方程為，由得.

由弦長公式知 .

同理可得.

.

令，則，當時，，

綜上所述：四邊形面積的最小值為8.