Question

如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.
（1）求證：AB為圓的直徑；
（2）若AC=BD，求證：.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析．

試題分析：
解題思路：（1）利用直徑所對的圓周角為直角，證明即可；（2）利用全等三角形即（1）結論證明.
規律總結：本題考查幾何證明中的直線與圓的位置關系，培養學生的觀察能力以及分析問題的能力.
試題解析：（1）因為PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.
由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直徑.
（2）連接BC，DC.

由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，
從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA.
又因為∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.
由于
于是ED是直徑，由（1）得ED=AB.