Question

【題目】如圖，有三種類型的紙片(可翻轉)。

證明:（1）當時，的紙板不能分割成若干個I型、II型的紙片;

（2）當n為大于2的偶數時，的紙板可以分割成若干個II型、III型的紙片。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)用反證法證明.

假設紙板可以分割成u個I型、v個II型紙片.

將紙板的各方格按圖6方式從左上向右下標號.

接下來，將填有1、2、3、4的單元格依次記為.則每個I型紙片包含各1個;每個II型紙片或包含各1個，或包(或，或，或)各2個.

設上述II型紙片各有個.則所有紙片共包含

個，個，個，個，其奇偶性相同.

但當時，紙板上各有個，有個，有個，其奇偶性不同，矛盾.

(2)用數學歸納法證明.

當時，如下圖，命題成立.

假設可將n×n(n為大于2的偶數)紙板分割.則對(n+4)×(n+4)紙板，將其分成中心的n×n紙板及邊上寬為2個方格的環.

如下圖，可將環分割為若干個Ⅱ、Ⅲ型(以n=6為例，其余情況只需在各邊增加若干個Ⅱ型紙片即可).中心的n×n紙板由歸納假設可以分割

綜上，命題成立.