Question

【題目】如圖，三棱臺中， 側面與側面是全等的梯形，若,且.

（Ⅰ）若， ，證明： ∥平面；

（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：(Ⅰ) 連接，由比例可得∥，進而得線面平行；

（Ⅱ）過點作的垂線，建立空間直角坐標系，不妨設，則求得平面的法向量為，設平面的法向量為，由求二面角余弦即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接，梯形， ,

易知： ；

又，則∥；

平面， 平面，

可得： ∥平面；

（Ⅱ）側面是梯形， ，

, ,

則為二面角的平面角， ；

均為正三角形，在平面內，過點作的垂線，如圖建立空間直角坐標系，不妨設，則

,故點，

；

設平面的法向量為，則有： ；

設平面的法向量為，則有： ；

，

故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.