Question

已知函數 ().
（1）若,求函數的極值;
（2）設．
① 當時,對任意,都有成立,求的最大值;
② 設的導函數.若存在,使成立,求的取值范圍.

Answer 1

（1）極大值是e^－1,極小值
（2）①－1－e^－1 ②(－1,＋∞)

（1）當a＝2,b＝1時,f (x)＝(2＋)e^x,定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞).
所以f ′(x)＝e^x
令f ′(x)＝0,得x₁＝－1,x₂＝,列表

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	(0, )		(,＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 
由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e^－1,f (x)的極小值是f ()＝
（2）① 因為g (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x,
當a＝1時,g (x)＝(x－－2)e^x.
因為g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,
所以b≤x²－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 記h(x)＝x²－2x－ (x＞0),則h′(x)＝.
當0＜x＜1時,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是減函數;
當x＞1時,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函數;
所以h(x)_min＝h(1)＝－1－e^－1;所以b的最大值為－1－e^－1.      ②因為g (x)＝(ax－－2a)e^x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x.
由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0,
整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0.
存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.
等價于存在x＞1,2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．
因為a＞0,所以＝.
設u(x)＝ (x＞1),則u′(x)＝．
因為x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函數,所以u(x)＞u(1)＝－1,
所以＞－1,即的取值范圍為(－1,＋∞)